Estudio local y global del problema de valor inicial asociado a la ecuación de Klein Gordon

Abstract

En la presente investigación se estudia el problema de Cauchy o de valores iniciales
de la siguiente ecuación diferencial parcial: u tt -△ u +mu =g(u) donde g ∈ C(R,R) y
t>0; y las siguientes condiciones iniciales: u(x,0)=ϕ(x) y u t(x,0)=ψ(x), x ∈ Rⁿ donde
ϕ y ψ son funciones dadas. La ecuación en estudio es conocida como la ecuación
de Klein-Gordon, y fue derivada como un modelo para describir aproximadamente
la propagación (unidireccional) de ondas largas de agua en un canal de poca
profundidad. Se considera los casos cuando g(u) = 0 y en particular cuando
g(u)=a|u|αu, a>0, α>0, con (n-2)α≤2 y fundamentalmente se estudia la existencia
local de las soluciones, la unicidad y la dependencia continua en el dato inicial y la
existencia global de las soluciones y se analizará la “blow-up” en tiempo fiito en el
espacio H₀¹(Ω)×L²(Ω).